Groupe des Ecoles des Mines - PROGRAMME DE L'EXAMEN

Logique élémentaire et Algèbre

Calcul des propositions, quantificateurs. Arguments ad absurdo, par récursivité.
Ensemble et fonction de la terminologie, les séries N, Z et Q: arithmétique et combinatoire, Polynômes: division euclidienne.

 

Propriété de la série R

Intervalle, Voisinage, limite supérieure. Séquences: limite (critère de Cauchy), le taux de convergence, récursivité un+1 = f (un). Calcul des fonctions de la variable réelle: limites et continuité, différentiabilité, formule des augmentations limitées, de la monotonie et fonctions inverses, formules de Taylor et inégalités, l'expansion finis, fonctions usuelles.
Le champ des nombres complexes, fonctions complexes usuelles (exponentielles ...).

 

Algèbre linéaire

Les espaces vectoriels, systèmes linéaires, base et dimension. Matrices, déterminants, systèmes linéaires. Valeurs propres et vecteurs propres, polynôme caractéristique, diagonalization. Application aux systèmes différentiels et aux équations.

 

Analyse

Fonctions rationnelles et leur décomposition, Calcul de primitives: intégrale définies sur un intervalle fermé borné, méthodes numériques. Formule de Taylor avec reste intégrale. Valeur des vecteurs de la variable réelle dans R2 et R3 (à l'exclusion des propriétés métriques). Courbes paramétrées dans R2 ou R3. Premier et second ordre des équations différentielles linéaires Path integral.

 

Séries numériques

Fonctions de la variable réelle: suites et séries de fonctions, ensemble de la série, applications des séries de Fourier. Simple, absolue, uniforme et normale convergences. Intégrales sur un intervalle réel, intégrales dépendant d'un paramètre. Les exemples et les applications (de Fourier, Laplace).

 

Calcul et Analyse vectorielle

Calcul différentiel: fonctions multivariables. Dérivées partielles et application linéaire tangente. Formule de Taylor d'ordre 2: application aux extremums locaux. Des intégrales multiples (fonctions de 2 ou 3 variables). Calcul par intégrations successives et  formule de changement de variables.

 

Espaces euclidiens finis

Produits scalaires, normes, base orthogonale et orthonormalization.Adjoint, Hermitian, opérateurs unitaire et normal . Introduction à l'espace L2. Base orthonormal en L2, polynômes de Legendre, base des fonctions trigonométriques. Les application des séries de Fourier. Transformation de Fourier: égalité Plancherel.

 

Système d'unité internationale, analyse dimensionnelle.

 

Mechanique

Cinématique: trajectoires, vitesse, accélération, mouvement des corps rigides, changement de cadre de référence.

 

Dynamique newtonienne: première, deuxième et troisième lois, cadres référentiel de l'inertie et de la non-inertie, la conservation des lois,  forces et potentiel, champ gravitationnel, forces centrales, petites oscillations.

 

Fluides: pression, l'hydrostatique,  variables d'Euler et Lagrange d'un continuum, équation de continuité, équation d'Euler du mouvement.

 

Thermodynamie: première loi, énergie interne, de travail, de la chaleur. Processus réversible et irréversible, seconde loi, cycles de Carnot. Equations d'état, changement de phase, gaz idéal, potentiel chimique, réactions chimiques, équations d'équilibre, d'affinités.

 

Electricité et Magnétisme

 

Electrostatique: charge électrique, la loi de Coulomb, champ électrique, potentiel, loi de Gauss, l'équilibre des conducteurs, la capacité.

 

Magnétostatique: champ magnétique, lois d'Ampère, la loi de l'induction de Faraday.

 

Courants électriques: courant électrique, la loi d'Ohm, conductivité, lois de Kirchhoff, oscillations libres et forcées , des condenseurs, inductance, impédance complexe, des circuits résonnants.

 

Équations de Maxwell: force de Lorentz, ondes électromagnétiques planes, les rayonnements, les ondes lumineuses, réflexion, réfraction, principe d'Huyghens, la diffraction, les phénomènes d'interférences.

 

Atomique et Physique moléculaire

Mécanique quantique: la loi de Planck, l'atome de Bohr, la relation de Broglie, principe d'incertitude, fonction d'onde, l'équation de Schrödinger, états stationnaires, quantification de l'énergie.

 

Structure de la matière: atome d'hydrogène, tableau périodique des éléments, des molécules, l'état solide, physique statistique élémentaire.